现在uiuc大三math和cs dual degree在读，准备下学期试试套磁phd。gpa目前4.0，research也做了一些，上学期大二的时候和教授做research，然后和一个当时大四还有个phd一起发了篇paper。现在有数学院Chair Professor的推荐信，有个Emeritus Professor推荐信，现在在上两节研究生课都是一个老师，应该也能要到（还有其他的推荐信但不准备用）。目前这三封不出意外到时候都准备用。下学期想再找一个学校很老很有名的教授做research看能不能搞到他的推荐信。
我现在在尽量多方面准备，下学期再多上研究生课，然后多做research，寒假要开始准备GRE和GRE sub。
下学期有套磁的计划，目前phd方向还在犹豫，大概是Algebra，Number theory兴趣比较大（analysis和probability兴趣不是很大，其他比如graph theory，logic这些可能也有兴趣但没怎么学，不太了解。）很可能申Algebraic Number Theory 相关。请问套磁或者直接申请那些好学校的可能性大概有多大呀？
还有到时候申请保底学校选在什么位置呀？GRE sub大概错多少道比较稳？

首先不能让套磁信变成模版化的垃圾邮件。如果你将相同的邮件群发给1000个教授，看到如此规格统一的邮件，教授心里怎么想，可能想着我凭什么回复你？有的学生更是连标题都懒得改一下，开头都是“dear professor”。开头最好换成dear professor xx，但千万别张冠李戴。邮件里应该要提及教授的研究和目前从事的项目。邮件要写得很有诚意；诚意不是通过几句话—我多么想和教授一起工作，多么想跟你学习，多么勤奋，多么能熬夜就能表达出来的。一定要多提前了解写推荐信教授的学术背景，越多越好。
什么是和教授套磁的正确方式？首先去查这位教授的研究领域：他／她做过什么研究，目前正在做什么研究。细节越多越好。然后，如果你在该领域没有什么经验，get some。读一些目标教授的期刊论文以及其他教授相关的论文，自己先想一想，研究研究，思考一下自己能够在这个领域做什么，能够为这位教授做什么，以及你能从中收获什么。做好充分的准备工作后，就可以开始给教授写信了。
写信的时候要注意，Keep it short and sweet.但是如果你写的东西类似于"I'm a student in my X year of Y university. I'm interested in your work on X (be specific) and would like to learn more about it. Can you suggest the best way to do that?" 教授会把它扔进垃圾箱去。因为这样的信教授收的太多了。你最起码要问一到两个具体的问题。这样做首先显得你确实做了功课，其次教授也有的回。否则这种“希望您能给点建议”的问题实在太宽泛了，教授无从下手。
至于是否要附带简历和cover letter，这个看情况。因为有些学校的邮箱系统会自动把带有附件的不明发件人邮件定为垃圾邮件，这样你的邮件可能永远不会被教授看到。
教授是否回信取决于以下几种情况：教授有多忙，你有多优秀，你的英语表达能力，你有多么想为这个教授工作。关于套瓷的时间线，建议越早开始越好。这样你就有更多时间和教授熟络起来，教授对你的印象更深。如果申请旺季开始，所有人都开始套瓷，你就会消失在茫茫套瓷大军中。最后切记：套瓷并不能保证录取。哪怕教授很喜欢你，如果她／他当时没有项目资金再多雇一个人，或者出现了更好的候选人，你就没戏了。但是，就算没跟这个教授，最起码交了一个业内的朋友，也许他／她能推荐你到其他教授那里，也许日后能帮上你也说不定。